{"id":2852,"date":"2015-06-14T08:37:28","date_gmt":"2015-06-14T08:37:28","guid":{"rendered":"http:\/\/anthroponaute.fr\/blog-informatique\/?p=2852"},"modified":"2017-07-31T18:06:47","modified_gmt":"2017-07-31T18:06:47","slug":"rotation-a-partir-dun-un-axe-quelconque","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.la-porte-des-nebuleuses.net\/blog-informatique\/?p=2852","title":{"rendered":"Rotation autour d’un axe quelconque"},"content":{"rendered":"

Intro :<\/strong><\/p>\n

Voici les matrices de rotation <\/strong>des axes X, Y et Z :<\/p>\n

\"matrix_rotation\"<\/a><\/p>\n

Nous savons comment faire une rotation autour des axes X, Y, et Z, mais comment faire une rotation \u00e0 partir d’un axe quelconque<\/strong> diff\u00e9rent<\/strong> des pr\u00e9c\u00e9dents ?<\/p>\n

Pr\u00e9requis :<\/strong><\/p>\n

– Savoir ce qu’est une matrice<\/em><\/p>\n

– Savoir ce qu’est une transformation de rep\u00e8re<\/em><\/p>\n

– Savoir utiliser les objets et fonctions math\u00e9matiques de la librairie D3DX<\/em><\/p>\n

Explications :<\/strong><\/p>\n

Nous allons pr\u00e9senter deux m\u00e9thodes : la formule de Rodrigues<\/strong> en deux variantes et une fonction correspondante de la librairie D3DX<\/strong>.<\/p>\n

 <\/p>\n

\n

 <\/p>\n

La formule de Rodrigues<\/strong> suivante permet de calculer la position d’un point<\/strong> subissant une rotation autour\u00a0d’un axe<\/strong> quelconque.<\/p>\n

Les variables sont : {v} la position d’un point qui subit la rotation ;\u00a0{\\theta} un angle de rotation ; {k} vecteur d’unit\u00e9 1 qui joue le r\u00f4le d’axis de rotation.<\/p>\n{v}_\\mathrm{rot} = {v} \\cos\\theta + ({k} \\times {v})\\sin\\theta + {k} ({k} \\cdot {v}) (1 - \\cos\\theta) \n

 <\/p>\n

Voici l’impl\u00e9mentation de cette formule en C++<\/strong> :<\/p>\n

\r\nD3DXVECTOR3 MatrixRotationAxis(D3DXVECTOR3& axis, D3DXVECTOR3& v, float fAngle)\r\n{\r\n\u00a0\u00a0\u00a0 D3DXVec3Normalize(&axis, &axis);\r\n\r\n\u00a0\u00a0 \u00a0D3DXVECTOR3 vect1 = v * cos(fAngle);\r\n\r\n\u00a0\u00a0 \u00a0D3DXVECTOR3 vect2;\r\n\u00a0\u00a0 \u00a0D3DXVec3Cross(&vect2, &axis, &v);\r\n\r\n\u00a0\u00a0 \u00a0vect2 *= sin(fAngle);\r\n\r\n\u00a0\u00a0 \u00a0float fDotProduct = D3DXVec3Dot(&axis, &v);\r\n\r\n\u00a0\u00a0 \u00a0D3DXVECTOR3 vect3 = axis * fDotProduct * (1 - cos(fAngle));\r\n\u00a0\u00a0 \u00a0\u00a0\u00a0 \u00a0\r\n\u00a0\u00a0 \u00a0return vect1 + vect2 + vect3;\r\n}\r\n<\/pre>\n
 <\/p>\n
Une autre formule de Rodrigues<\/strong> permet de calculer rapidement la matrice de r\u00e9volution<\/strong> autour d’un axe et d’un angle quelconques.<\/p>\n
Les variables sont : la matrice de rotation \\mathbf{R}_{\\mathbf{K}}(\\theta)  autour d’un axe {k} = ( k_{1}, k_{2}, k_{3} )  d’unit\u00e9 1 et d’angle \\theta  ; \\mathbf{I}  \u00e9tant la matrice identit\u00e9 ;<\/p>\n
et la matrice \\mathbf{K} = \\left[\\begin{array}{ccc} 0 & -k_3 & k_2 \\\\ k_3 & 0 & -k_1 \\\\ -k_2 & k_1 & 0 \\end{array}\\right] <\/p>\n
 <\/p>\n\\mathbf{R}_{\\mathbf{K}}(\\theta) = \\mathbf{I} + (\\sin\\theta) \\mathbf{K}+ (1-\\cos\\theta)\\mathbf{K}{^2} \n
 <\/p>\n
Voici l\u2019impl\u00e9mentation de cette formule en C++<\/strong> :<\/p>\n
\r\nD3DXMATRIX D3D10Renderer::MatrixRotationAxis(D3DXVECTOR3& axis, float fAngle)\r\n{\r\n    \/\/ Il faut convertir le vecteur d'axis en unit\u00e9 1 sinon cela\r\n    \/\/ ne fonctionne pas\r\n    D3DXVec3Normalize(&axis, &axis);\r\n\r\n\u00a0\u00a0\u00a0 D3DXMATRIX K;\r\n\u00a0\u00a0\u00a0 D3DXMatrixIdentity(&K);\r\n\u00a0\r\n\u00a0\u00a0\u00a0 K._11 = 0;\r\n\u00a0\u00a0\u00a0 K._12 = -axis.z;\r\n\u00a0\u00a0\u00a0 K._13 = axis.y;\r\n\u00a0\r\n\u00a0\u00a0\u00a0 K._21 = axis.z;\r\n\u00a0\u00a0\u00a0 K._22 = 0.0f;\r\n\u00a0\u00a0\u00a0 K._23 = -axis.x;\r\n\u00a0\r\n\u00a0\u00a0\u00a0 K._31 = -axis.y;\r\n\u00a0\u00a0\u00a0 K._32 = axis.x;\r\n\u00a0\u00a0\u00a0 K._33 = 0;\r\n\u00a0\r\n    \/\/ Pour \u00e9viter que ce champ soit multipli\u00e9\r\n    \/\/ par les scalaires, on le met \u00e0 0\r\n\u00a0\u00a0\u00a0 K._44 = 0;\r\n\u00a0\r\n\u00a0\u00a0\u00a0 D3DXMATRIX identity;\r\n\u00a0\u00a0\u00a0 D3DXMatrixIdentity(&identity);\r\n\u00a0\r\n\u00a0\u00a0\u00a0 D3DXMATRIX squared;\r\n\u00a0\u00a0\u00a0 D3DXMatrixMultiply(&squared, &K, &K);\r\n\u00a0\r\n\u00a0\u00a0\u00a0 D3DXMATRIX rot = identity + K * sin(fAngle) + squared * (1 - cos(fAngle));\r\n\u00a0\r\n\u00a0\u00a0\u00a0 return rot;\r\n}\r\n<\/pre>\n
 <\/p>\n
\n
 <\/p>\n
D’autre part, on peut aussi se servir de la fonction\u00a0D3DXMatrixRotationAxis<\/strong> \u00e9quivalente \u00e0 la pr\u00e9c\u00e9dente formule de Rodrigues :<\/p>\n
\r\n#include <d3dx10math.h>\r\n\r\nD3DXMATRIX worldMatrix;\r\nD3DXMatrixIdentity(&worldMatrix);\r\n\r\nstatic float r = 0.0f;\r\nr += fTimeSinceLastFrame;\r\nD3DXVECTOR3 axis(1.0f, -1.0f, 0.0f);\r\n\r\nD3DXMatrixRotationAxis(&worldMatrix, &axis, r);\r\n<\/pre>\n
 <\/p>\n
R\u00e9sum\u00e9 :<\/strong><\/p>\n
Nous avons appris deux m\u00e9thodes qui permet de faire la rotation d’un point.<\/p>\n
R\u00e9f\u00e9rences :<\/strong><\/p>\n
– https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Rodrigues%27_rotation_formula<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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