{"id":3384,"date":"2015-11-12T21:54:19","date_gmt":"2015-11-12T21:54:19","guid":{"rendered":"http:\/\/anthroponaute.fr\/blog-informatique\/?p=3384"},"modified":"2016-02-04T07:24:30","modified_gmt":"2016-02-04T07:24:30","slug":"les-matrices","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.la-porte-des-nebuleuses.net\/blog-informatique\/?p=3384","title":{"rendered":"Les matrices"},"content":{"rendered":"

\"matrice\"<\/a><\/p>\n

Intro :<\/strong><\/p>\n

Une matrice est un tableau de nombres ordonn\u00e9s en lignes<\/strong> et en colonnes<\/strong> entour\u00e9s par des parenth\u00e8ses ou des crochets permettant d’effectuer des transformations g\u00e9om\u00e9triques dans un rep\u00e8re cart\u00e9sien (un espace). Ces transformations peuvent \u00eatre des agrandissements<\/strong>, des rotations <\/strong>ou des translations<\/strong>.<\/p>\n

En effet, elles sont utilis\u00e9es lors de l’affichage du rendu 3D \u00e0 l’\u00e9cran, de fa\u00e7on \u00e0 ce que l’espace 3D<\/strong> du jeu soit transform\u00e9e dans l’espace 2D<\/strong> de l’\u00e9cran.<\/p>\n

Les matrices servent \u00e0 transformer un espace de d\u00e9part<\/strong> vers un espace d’arriv\u00e9<\/strong>. Elles permettent de changer les coordonn\u00e9es d’un point ou d’un vecteur depuis un espace \u00e0 un autre.<\/p>\n

Voir aussi cet article traitant les transformations.<\/p>\n

Pr\u00e9requis : <\/strong><\/p>\n

– Savoir faire des op\u00e9rations sur les vecteurs<\/em>.<\/p>\n

– Savoir appliquer le produit scalaire<\/em>.<\/p>\n

Explications : <\/strong><\/p>\n

On peut r\u00e9aliser sur les matrices des op\u00e9rations<\/strong> proches de celles que l’on applique sur les nombres r\u00e9els comme l’addition, la soustraction, la multiplication ou l’inversion.<\/p>\n

Les nombres dans une matrice sont appel\u00e9s coefficients<\/strong>. On repr\u00e9sente un coefficient d’une matrice par : \\textbf{M}_{i, j} .
\nLe premier indice<\/strong> i<\/strong> correspond \u00e0 la ligne et le second indice<\/strong> j<\/strong> correspond \u00e0 la colonne.<\/p>\n

Une matrice avec M<\/strong> lignes et N<\/strong> colonnes est appel\u00e9e une matrice MxN<\/strong><\/em>.<\/p>\n

Multiplication de deux matrices :<\/span><\/h4>\n

Il est n\u00e9cessaire pour multiplier deux matrices\u00a0\\textbf{A} et\u00a0\\textbf{B} que le nombre de colonnes de \\textbf{A} vaut le nombre de lignes de \\textbf{B} .<\/p>\n

Si\u00a0\\textbf{A} est une matrice MxN<\/em> et\u00a0\\textbf{B} une matrice NxP<\/em>, alors le produit\u00a0\\textbf{AB} est possible et est une matrice\u00a0\\textbf{C} de dimension MxP<\/em>.<\/p>\n

Le coefficient \\textbf{C}_{i, j} est donn\u00e9 en faisant le produit scalaire<\/strong> de la {i}_{eme} ligne de \\textbf{A} par la {j}_{eme} colonne de \\textbf{B} .<\/p>\n

Voici la formule : \\textbf{C}_{i, j} = \\textbf{A}_{i, *} \\cdot \\textbf{B}_{*, j} .
\nLe symbole de l’\u00e9toile repr\u00e9sente tous les coefficients de la matrice.<\/p>\n

Rappel du produit scalaire :\u00a0 {v}\\cdot{w}={v}_{x}{w}_{x}+{v}_{y}{w}_{y}+{v}_{z}{w}_{z}<\/p>\n

Voici un exemple :<\/p>\n\\begin{bmatrix} -1 & 2 & 2 \\\\ 4 & 6 & 3 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} 6 & 7 & 8 \\\\ 2 & 1 & 1 \\\\ 1 & 4 & 8 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} (-1, 2, 2) \\cdot (6, 2, 1) & (-1, 2, 2) \\cdot (7, 1, 4) & (-1, 2, 2) \\cdot (8, 1, 8) \\\\ (4, 6, 3) \\cdot (6, 2, 1) & (4, 6, 3) \\cdot (7, 1, 4) & (4, 6, 3) \\cdot (8, 1, 8) \\end{bmatrix} = \\newline\\newline\\begin{bmatrix} (-1 \\times 6) + (2 \\times 2) + (2 \\times 1) & (-1 \\times 7) + (2 \\times 1) + (2 \\times 4) & (-1 \\times 8) + (2 \\times 1) + (-1 \\times 8) \\\\ (4 \\times 6) + (6 \\times 2) + (3 \\times 1) & (4 \\times 7) + (6 \\times 1) + (3 \\times 4) & (4 \\times 8) + (6 \\times 1) + (3 \\times 8) \\end{bmatrix} = \\newline\\newline\\begin{bmatrix} 0 & 3 & -14 \\\\ 39 & 46 & 62 \\end{bmatrix} \n


\nMatrice carr\u00e9e :<\/span><\/h4>\n

C’est une matrice ayant le m\u00eame<\/strong> nombres de colonnes et de lignes.<\/p>\n

Voici une matrice carr\u00e9e :<\/p>\n\\begin{pmatrix} 2 & 3 \\\\ 4 & 5 \\end{pmatrix} \n

 <\/p>\n

Ordre d’une matrice :<\/span><\/h4>\n

L’ordre d’une matrice est l’autre d\u00e9nomination de la taille d’une matrice. Une matrice \u00e0 M<\/strong> lignes et N<\/strong> colonnes est dites d’ordre MxN<\/em>.<\/p>\n

Matrice identit\u00e9 :<\/span><\/h4>\n

C’est une matrice carr\u00e9e dont tout les coefficients en diagonale<\/strong> valent 1 ; tandis que les autres valent 0.<\/p>\n

Si nous multiplions un vecteur par une matrice identit\u00e9, le vecteur ne sera absolument pas chang\u00e9<\/strong> ; de m\u00eame pour une matrice.<\/p>\n

Voici une matrice identit\u00e9 d\u2019ordre 3 :<\/p>\n\\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\end{pmatrix} \n

 <\/p>\n

Multiplication d’un vecteur par une matrice :<\/span><\/h4>\n

On proc\u00e8de comme la multiplication de deux matrices. Sauf que le vecteur est consid\u00e9r\u00e9 comme une matrice 1xN<\/em>.<\/p>\n

La multiplication est possible que si le nombre de colonnes<\/strong> de la matrice est \u00e9gal au nombre de coordonn\u00e9es<\/strong> du vecteur. On fait l’op\u00e9ration de cet ordre : \\textbf{v}\\textbf{M} ; d’abord le vecteur \\textbf{v} \u00e0 l’op\u00e9rande gauche ensuite la matrice \\textbf{M} \u00e0 l’op\u00e9rande droite.<\/p>\n

La multiplication de matrices n’est pas commutative<\/strong>, c’est-\u00e0-dire que M1 x M2 ne sera pas forc\u00e9ment \u00e9gal \u00e0 M2 x M1.<\/p>\n

Transpos\u00e9e d’une matrice :<\/span><\/h4>\n

La transpos\u00e9e d’une matrice \\textbf{M} , not\u00e9e \\textbf{M}^{T} , est la matrice g\u00e9n\u00e9r\u00e9e par l’inversion<\/strong> des \u00e9l\u00e9ments de la matrice d’origine par rapport \u00e0 la diagonale.<\/p>\n

Une matrice MxN<\/em> devient une matrice NxM<\/em>.<\/p>\n

Exemple :<\/p>\n

\\textbf{A} = \\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\\\ 5 & 8 & 4 \\end{pmatrix} \u00a0\u00a0 donne \\textbf{A}^T = \\begin{pmatrix} 2 & 5 \\\\ 3 & 8 \\\\ 1 & 4 \\end{pmatrix} <\/p>\n

Propri\u00e9t\u00e9s remarquables :<\/p>\n\\textbf{(A + B)}^T = \\textbf{A}^T + \\textbf{B}^T\n

 <\/p>\n(c\\textbf{A})^T=c{\\textbf{A}}^T \n

 <\/p>\n(\\textbf{AB})^T=\\textbf{B}^T\\textbf{A}^T\n

 <\/p>\n(\\textbf{A}^T)^T=\\textbf{A}\n

 <\/p>\n(\\textbf{A}^{-1})^T=(\\textbf{A}^T)^{-1}\n

 <\/p>\n

Ajouter deux matrices :
\n<\/span><\/h4>\n

On ajoute deux matrices de m\u00eame dimension<\/strong> en ajoutant un \u00e0 un<\/strong> leur coefficient correspondant.<\/p>\n

Soustraire deux matrices :<\/span><\/h4>\n

On proc\u00e8de comme suit : \\textbf{A} - \\textbf{B} = \\textbf{A} + (-1 \\cdot \\textbf{B}) = \\textbf{A} + (-\\textbf{B}) <\/p>\n

Multiplier une matrice par un r\u00e9el : <\/span><\/h4>\n

On multiplie le r\u00e9el par tous<\/strong> les coefficients de la matrice.<\/p>\n

Inverse d’une matrice : <\/span><\/h4>\n

Seul les matrices carr\u00e9es sont inversibles.<\/p>\n

Not\u00e9 \\textbf{M}^{-1} , la matrice inverse v\u00e9rifie cette expression : \\textbf{MM}^{-1} = \\textbf{M}^{-1} \\textbf{M} = \\textbf{I} .
\n\\textbf{I} \u00e9tant la matrice identit\u00e9.<\/p>\n

Une matrice est inversible si et seulement si son d\u00e9terminant<\/strong> n’est pas nul<\/strong>.<\/p>\n

L’inverse d’une matrice permet de retrouver l’espace pr\u00e9c\u00e9dent suite \u00e0 une transformation de rep\u00e8re.<\/p>\n

Voici un sch\u00e9ma r\u00e9sumant ce principe :<\/p>\n

\"img008\"<\/a><\/p>\n

D\u00e9terminant d’une matrice :<\/span><\/h4>\n

Associativit\u00e9 :<\/span><\/h4>\n\\textbf{A}(\\textbf{B } {+} \\textbf{ C}) = \\textbf{AB} + \\textbf{AC} \n

 <\/p>\n(\\textbf{AB})\\textbf{C} = \\textbf{A}(\\textbf{BC}) \n

 <\/p>\n

R\u00e9sum\u00e9 :<\/strong><\/p>\n

Nous avons vu les op\u00e9rations courantes concernant l’alg\u00e8bre matricielle.<\/p>\n

L’utilisation des matrices (afin d’effectuer des transformations) est fondamentale dans le rendu 3D de jeu vid\u00e9o.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Intro : Une matrice est un tableau de nombres ordonn\u00e9s en lignes et en colonnes entour\u00e9s par des parenth\u00e8ses ou des crochets permettant d’effectuer des transformations g\u00e9om\u00e9triques dans un rep\u00e8re cart\u00e9sien (un espace). Ces transformations peuvent \u00eatre des agrandissements, des rotations ou des translations. En effet, elles sont utilis\u00e9es lors de l’affichage du rendu 3D […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":[],"categories":[6],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.la-porte-des-nebuleuses.net\/blog-informatique\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/3384"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.la-porte-des-nebuleuses.net\/blog-informatique\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.la-porte-des-nebuleuses.net\/blog-informatique\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.la-porte-des-nebuleuses.net\/blog-informatique\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.la-porte-des-nebuleuses.net\/blog-informatique\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=3384"}],"version-history":[{"count":118,"href":"https:\/\/www.la-porte-des-nebuleuses.net\/blog-informatique\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/3384\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":5976,"href":"https:\/\/www.la-porte-des-nebuleuses.net\/blog-informatique\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/3384\/revisions\/5976"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.la-porte-des-nebuleuses.net\/blog-informatique\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=3384"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.la-porte-des-nebuleuses.net\/blog-informatique\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=3384"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.la-porte-des-nebuleuses.net\/blog-informatique\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=3384"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}