{"id":4544,"date":"2015-12-21T17:33:37","date_gmt":"2015-12-21T17:33:37","guid":{"rendered":"http:\/\/anthroponaute.fr\/blog-informatique\/?p=4544"},"modified":"2016-02-10T18:20:56","modified_gmt":"2016-02-10T18:20:56","slug":"transformations-geometriques","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.la-porte-des-nebuleuses.net\/blog-informatique\/?p=4544","title":{"rendered":"Transformations g\u00e9om\u00e9triques des objets par les matrices"},"content":{"rendered":"

\"1\"<\/strong><\/p>\n

Intro :<\/strong><\/p>\n

Les transformations g\u00e9om\u00e9triques op\u00e9r\u00e9es sur des objets 3D sont de 3 types : translation<\/strong>, rotation<\/strong> et mise \u00e0 l’\u00e9chelle (agrandissement<\/strong>). Gr\u00e2ce \u00e0 ces trois transformations, on peut mettre un mouvement<\/strong> un ensemble de points (ou un mod\u00e8le).<\/p>\n

Mais de quoi s’agit-il ?<\/span><\/h4>\n

Une translation<\/em> est un changement de position<\/strong> d’un point ou de plusieurs points.<\/p>\n

Une rotation<\/em> permet de faire pivoter un point<\/strong> (ou plusieurs points) autour d’un axe par un certain angle.<\/p>\n

Une mise \u00e0 l’\u00e9chelle<\/em> permet d\u2019agrandir<\/strong> ou de diminuer<\/strong> la taille d’un objet.<\/p>\n

Pr\u00e9requis :<\/strong><\/p>\n

– Savoir ce qu’est un vecteur<\/em><\/p>\n

– Savoir ce qu’est une matrice<\/em><\/p>\n

Explications :<\/strong><\/p>\n

Il existe deux mani\u00e8res<\/strong> de repr\u00e9senter un syst\u00e8me de coordonn\u00e9es : de type gauche ou de type droit.<\/p>\n

\"sys_coord\"<\/a><\/p>\n

DirectX<\/strong> utilise un syst\u00e8me de coordonn\u00e9es de type droit<\/strong> tandis que OpenGL<\/strong> utilise un syst\u00e8me de coordonn\u00e9es de type gauche<\/strong>.<\/p>\n

 <\/p>\n

\n

 <\/p>\n

On peut se servir des matrices pour repr\u00e9senter une transformation d’un objet dans l’espace de coordonn\u00e9es<\/strong> 3D.<\/p>\n

L’int\u00e9r\u00eat<\/strong> de la repr\u00e9sentation matricielle est principalement qu’on peut combiner \u00e0 la suite<\/strong> n’importe quelle transformation en une et seule matrice de transformation finale<\/strong>.<\/p>\n

Une transformation est une op\u00e9ration qui prend en entr\u00e9e<\/strong> un vecteur et qui en sortie<\/strong> le converti autrement.<\/p>\n

 <\/p>\n

Transformation lin\u00e9aire :<\/span><\/h4>\n

On pr\u00e9cise que math\u00e9matiquement<\/em> une transformation<\/strong> (en l\u2019occurrence lin\u00e9aire<\/strong>) repr\u00e9sente :<\/p>\n

Soit la fonction \\tau(v) = \\tau{(x , y , z)} = (x^{\\prime}, y^{\\prime}, z^{\\prime}) <\/p>\n

respectant les propri\u00e9t\u00e9s suivantes :<\/p>\n

\\tau(u+v) = \\tau(u) +\\tau(v) \u00a0\u00a0 et<\/strong>\u00a0\u00a0 \\tau(ku) = k\\tau (u) <\/p>\n

avec {u} et {v} deux vecteurs\u00a0 \u00e0 3 composantes.<\/p>\n

Ces transformations sont nomm\u00e9es \u00ab\u00a0lin\u00e9aires\u00a0\u00bb car elles pr\u00e9servent l’addition de vecteurs<\/strong> et la multiplication par un scalaire<\/strong>.<\/p>\n

Toutes les transformations lin\u00e9aires peuvent \u00eatre repr\u00e9sent\u00e9es par une matrice 3×3 <\/strong>(ou plus).<\/p>\n

Pensez que les op\u00e9rations de rotation<\/em> ou d’agrandissement<\/em> sont toutes des transformations lin\u00e9aires respectant<\/strong> ce dernier principe.<\/p>\n

Quant \u00e0 la transformation de translation<\/em>, elle n’est pas une transformation lin\u00e9aire mais une transformation affine<\/strong>.
\nUne transformation affine est une transformation lin\u00e9aire qui est suivie<\/strong> d’une translation, elle pr\u00e9serve la colin\u00e9arit\u00e9<\/strong> des vecteurs (caract\u00e9ristique des vecteurs qui ont la m\u00eame direction). Ces derni\u00e8res sont peuvent \u00eatre repr\u00e9sent\u00e9es par une matrice 4×4<\/strong>.<\/p>\n

On remarque que les matrices de rotation et d’agrandissement sont aussi<\/strong>, par quant \u00e0 elles, des transformations affines !<\/p>\n

Pour s’en servir, on multiplie <\/strong>un vecteur qui a besoin d’\u00eatre transform\u00e9 par une matrice 4×4 de translation. Ce dernier vecteur doit \u00eatre en notation \u00ab\u00a0homogeneous<\/strong>\u00a0\u00bb (voir l’article sur les transformations de coordonn\u00e9es) pour \u00eatre multipli\u00e9 par une matrice 4×4.<\/p>\n

L’avantage de ces matrices affines, est qu’elles peuvent \u00eatre combin\u00e9es les une \u00e0 la suite<\/strong> des autres<\/strong> en une seule matrice finale qui peut repr\u00e9senter la somme de ces transformations.<\/p>\n

 <\/p>\n

\n

<\/h4>\n

<\/h4>\n

 <\/p>\n

La translation :<\/span><\/h4>\n

[sch\u00e9ma \/ dessin]<\/p>\n

Voici la matrice de transformation affine repr\u00e9sentant une translation :<\/p>\n\\textbf{T}(\\textbf{t}) = \\textbf{T}(t_{x}, t_{y},t_{z}) = \\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & t_{x} \\\\ 0 & 1 & 0 & t_{y} \\\\ 0 & 0 & 1 & t_{z} \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\end{pmatrix} \n

 <\/p>\n

Le vecteur \\textbf{t} repr\u00e9sente la valeur de d\u00e9placement de la matrice.<\/p>\n

Pour changer la position d’un vecteur p par cette matrice on fait :<\/p>\nTranslation = \\textbf{T}(\\textbf{t})p \n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

L’inverse de cette matrice (op\u00e9ration inverse<\/strong>) :<\/p>\n\\textbf{T}^{-1}(\\textbf{t}) = \\textbf{T}^{-1}(t_{x}, t_{y},t_{z}) = \\textbf{T}(-t_{x}, -t_{y},-t_{z}) = \\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -t_{x} \\\\ 0 & 1 & 0 & -t_{y} \\\\ 0 & 0 & 1 & -t_{z} \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\end{pmatrix} \n

 <\/p>\n

L’agrandissement :<\/span><\/h4>\n

Une matrice d\u2019agrandissement permet de faire grossir ou de diminuer un mod\u00e8le.<\/p>\n

Voici la matrice de transformation affine repr\u00e9sentant une mise \u00e0 l’\u00e9chelle :<\/p>\n\\textbf{S}(\\textbf{s}) = \\textbf{S}(s_{x}, s_{y}, s_{z}) = \\begin{pmatrix} s_{x} & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & s_{y} & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & s_{z} & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\end{pmatrix} \n

 <\/p>\n

Le vecteur \\textbf{s} repr\u00e9sente la grandeur d’agrandissement.<\/p>\n

 <\/p>\n

Pour agrandir ou minimiser un vecteur p par cette matrice on fait :<\/p>\nAgrandissement = \\textbf{S}(\\textbf{s})p \n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

L\u2019inverse de cette matrice (op\u00e9ration inverse<\/strong>) :<\/p>\n\\textbf{S}^{-1}(\\textbf{s}) = \\textbf{S}(1\/s_{x}, 1\/s_{y}, 1\/s_{z}) = \\begin{pmatrix} 1\/s_{x} & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1\/s_{y} & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\/s_{z} & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\end{pmatrix} \n

 <\/p>\n

Si\u00a0 s_{x} = s_{y} = s_{z} alors la matrice d\u2019agrandissement est dite \u00ab\u00a0uniforme\u00a0\u00bb.<\/p>\n

La rotation :<\/span><\/h4>\n

Cette transformation op\u00e8re une rotation sur un vecteur avec un angle donn\u00e9 \\theta et autour d’un axe donn\u00e9 i <\/p>\n

La matrice de transformation affine sur l’axe des x :<\/p>\n\\textbf{R}_{x}(\\theta) = \\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & \\cos \\theta & -\\sin \\theta & 0 \\\\ 0 & \\sin \\theta & \\cos \\theta & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\end{pmatrix} \n

 <\/p>\n

La matrice de transformation affine sur l’axe des y est :<\/p>\n\\textbf{R}_{y}(\\theta) = \\begin{pmatrix} \\cos \\theta & 0 & \\sin \\theta & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ -\\sin \\theta & 0 & \\cos \\theta & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\end{pmatrix} \n

 <\/p>\n

La matrice de transformation affine sur l’axe des z est :<\/p>\n\\textbf{R}_{z}(\\theta) = \\begin{pmatrix} \\cos \\theta & -\\sin \\theta & 0 & 0 \\\\ \\sin \\theta & \\cos \\theta & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\end{pmatrix} \n

 <\/p>\n

Pour faire pivoter un vecteur \"p par cette matrice on fait :<\/p>\nRotation = R_{x\/y\/z}(\\theta)p \n

 <\/p>\n

L\u2019inverse de cette matrice (op\u00e9ration inverse<\/strong>) :<\/p>\n\\textbf{R}^{-1}(\\theta) = \\textbf{R}(-\\theta) \n

 <\/p>\n

Faire une rotation autour d’un point quelconque : <\/span><\/h4>\n

[image \/ sch\u00e9ma avec un bonhomme]<\/p>\n

On remarque qu’une rotation autour d’un axe<\/strong> i d’un point p ne change en rien la position<\/strong> du point<\/strong> p sur l’axe i .<\/p>\n

En utilisant ce principe, on d\u00e9place le point p de fa\u00e7on \u00e0 ce qu’il co\u00efncide autour de l’origine : la matrice de translation \\textbf{T}(-p) le permet.
\nOn op\u00e8re ensuite la rotation sur l’axe i par la matrice de rotation \\textbf{R}{_i}(\\theta) .
\nFinalement le point p doit \u00eatre remis \u00e0 sa position initiale par la matrice de translation \\textbf{T}(p) .<\/p>\n

La transformation finale correspond \u00e0 cette \u00e9galit\u00e9 :\u00a0 \\textbf{X} = \\textbf{T}(p)\\textbf{R}{_i}(\\theta)\\textbf{T}(-p) <\/p>\n

 <\/p>\n

R\u00e9sum\u00e9 :<\/strong><\/p>\n

Nous avons pr\u00e9sent\u00e9 les matrices de transformations affines qui permettent de mouvoir les mod\u00e8les (ensemble de points \/ vecteurs d’un objet \/ mod\u00e8le) \u00e0 travers la translation<\/strong>, la rotation<\/strong>, et la mise \u00e0 l’\u00e9chelle<\/strong>.<\/p>\n

R\u00e9f\u00e9rences :<\/strong><\/p>\n

– https:\/\/takinginitiative.files.wordpress.com\/2010\/08\/2.pdf<\/p>\n

– Shader Approach DirectX 9<\/p>\n

– Real Time Rendering – Third edition<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Intro : Les transformations g\u00e9om\u00e9triques op\u00e9r\u00e9es sur des objets 3D sont de 3 types : translation, rotation et mise \u00e0 l’\u00e9chelle (agrandissement). Gr\u00e2ce \u00e0 ces trois transformations, on peut mettre un mouvement un ensemble de points (ou un mod\u00e8le). Mais de quoi s’agit-il ? Une translation est un changement de position d’un point ou de […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":[],"categories":[6],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.la-porte-des-nebuleuses.net\/blog-informatique\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/4544"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.la-porte-des-nebuleuses.net\/blog-informatique\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.la-porte-des-nebuleuses.net\/blog-informatique\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.la-porte-des-nebuleuses.net\/blog-informatique\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.la-porte-des-nebuleuses.net\/blog-informatique\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=4544"}],"version-history":[{"count":81,"href":"https:\/\/www.la-porte-des-nebuleuses.net\/blog-informatique\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/4544\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":4944,"href":"https:\/\/www.la-porte-des-nebuleuses.net\/blog-informatique\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/4544\/revisions\/4944"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.la-porte-des-nebuleuses.net\/blog-informatique\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=4544"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.la-porte-des-nebuleuses.net\/blog-informatique\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=4544"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.la-porte-des-nebuleuses.net\/blog-informatique\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=4544"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}