Intro :

Voici les matrices de rotation des axes X, Y et Z :

Nous savons comment faire une rotation autour des axes X, Y, et Z, mais comment faire une rotation à partir d’un axe quelconque différent des précédents ?

Prérequis :

– Savoir ce qu’est une matrice

– Savoir ce qu’est une transformation de repère

– Savoir utiliser les objets et fonctions mathématiques de la librairie D3DX

Explications :

Nous allons présenter deux méthodes : la formule de Rodrigues en deux variantes et une fonction correspondante de la librairie D3DX.

 

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La formule de Rodrigues suivante permet de calculer la position d’un point subissant une rotation autour d’un axe quelconque.

Les variables sont : la position d’un point qui subit la rotation ;  un angle de rotation ; vecteur d’unité 1 qui joue le rôle d’axis de rotation.

 

Voici l’implémentation de cette formule en C++ :

D3DXVECTOR3 MatrixRotationAxis(D3DXVECTOR3& axis, D3DXVECTOR3& v, float fAngle)
{
    D3DXVec3Normalize(&axis, &axis);

    D3DXVECTOR3 vect1 = v * cos(fAngle);

    D3DXVECTOR3 vect2;
    D3DXVec3Cross(&vect2, &axis, &v);

    vect2 *= sin(fAngle);

    float fDotProduct = D3DXVec3Dot(&axis, &v);

    D3DXVECTOR3 vect3 = axis * fDotProduct * (1 - cos(fAngle));
        
    return vect1 + vect2 + vect3;
}

 

Une autre formule de Rodrigues permet de calculer rapidement la matrice de révolution autour d’un axe et d’un angle quelconques.

Les variables sont : la matrice de rotation autour d’un axe d’unité 1 et d’angle ; étant la matrice identité ;

et la matrice

 

 

Voici l’implémentation de cette formule en C++ :

D3DXMATRIX D3D10Renderer::MatrixRotationAxis(D3DXVECTOR3& axis, float fAngle)
{
    // Il faut convertir le vecteur d'axis en unité 1 sinon cela
    // ne fonctionne pas
    D3DXVec3Normalize(&axis, &axis);

    D3DXMATRIX K;
    D3DXMatrixIdentity(&K);
 
    K._11 = 0;
    K._12 = -axis.z;
    K._13 = axis.y;
 
    K._21 = axis.z;
    K._22 = 0.0f;
    K._23 = -axis.x;
 
    K._31 = -axis.y;
    K._32 = axis.x;
    K._33 = 0;
 
    // Pour éviter que ce champ soit multiplié
    // par les scalaires, on le met à 0
    K._44 = 0;
 
    D3DXMATRIX identity;
    D3DXMatrixIdentity(&identity);
 
    D3DXMATRIX squared;
    D3DXMatrixMultiply(&squared, &K, &K);
 
    D3DXMATRIX rot = identity + K * sin(fAngle) + squared * (1 - cos(fAngle));
 
    return rot;
}

 

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D’autre part, on peut aussi se servir de la fonction D3DXMatrixRotationAxis équivalente à la précédente formule de Rodrigues :

#include <d3dx10math.h>

D3DXMATRIX worldMatrix;
D3DXMatrixIdentity(&worldMatrix);

static float r = 0.0f;
r += fTimeSinceLastFrame;
D3DXVECTOR3 axis(1.0f, -1.0f, 0.0f);

D3DXMatrixRotationAxis(&worldMatrix, &axis, r);

 

Résumé :

Nous avons appris deux méthodes qui permet de faire la rotation d’un point.

Références :

– https://en.wikipedia.org/wiki/Rodrigues%27_rotation_formula