Transformation d’un système de coordonnées dans un autre

Intro :

En mathématiques, on peut convertir un vecteur ou un point d’un système de coordonnées dans un autre.

Il existe deux façon de représenter un repère (ou système de coordonnées) en mathématiques.

En l’occurrence, DirectX utilise le système de coordonnées gauche. Voir l’article sur les transformations géométriques.

Prérequis :

– Savoir manipuler les vecteurs et les matrices

Explications :

Il faut noter que la notation $\vec{v}={(x, y, z, w)}$ décrit un vecteur lorsque que w = 0 ou décrit un point lorsque w = 1.

Lorsqu’un vecteur a ces 4 composantes, comme décrit précédemment, on dit qu’il est en « homogeneous coordinates ».

Soit un vecteur (ou un point) $\vec{p}_{A}={(x, y, z, w)}$ d’un repère A et un autre vecteur (ou point) $\vec{p}_{B}={(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}, w)}$ d’un autre repère B.

Voici un schéma qui représente deux repères relatifs entre-eux et en dimension deux.

On obtient le vecteur $\vec{p_{A}}$ correspondant dans le repère B (devenant le vecteur $\vec{p_{B}}$ ) en faisant la multiplication matricielle suivante :

$\vec{p_{A}}C = {[x, y, z, w]}\begin{bmatrix} {u_{x}} & {u_{y}} & {u_{z}} & 0 \\ {v_{x}} & {v_{y}} & {v_{z}} & 0 \\ {w_{x}} & {w_{y}} & {w_{z}} & 0 \\ {O_{x}} & {O_{y}} & {O_{z}} & 1 \end{bmatrix}={x\vec{u}} + {y\vec{v}} + {z\vec{w}} + {w\vec{O}}=\vec{p_{B}}$

Les vecteurs $\vec{O}$ $\vec{u}$ $\vec{v}$ $\vec{w}$ correspondent, respectivement aux positions : de l’origine, l’axe x, l’axe y, l’axe z du repère A relatifs au repère B.